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\begin{document}
\parindent=0pt
\begin{titlepage}

\begin{figure*}[h!]
  \includegraphics[width=8cm]{pics/TULogo_CMYK}
\end{figure*}

\begin{center}
\vspace*{1.3cm}
{\Huge Elektrotechnische Grundlagen der Informatik\\(LU 182.085)\\}
\vspace{1.7cm}
{\LARGE Protokoll der 2. Laborübung:\\``Transiente Vorgänge und Frequenzverhalten''\\}
\vspace{1.7cm}

% fill in group number and date of lab here
% CHANGE ME!
{\Large Gruppennr.: 14 \hspace{1cm} Datum der Laborübung: 19.4.2010}

% fill in IDs and names here
% CHANGE ME!
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|p{6.5cm}|}
\hline \textbf{Matr. Nr.} & \textbf{Kennzahl} & \textbf{Name} \\
\hline
0326077&033535 &Bernhard Froemel \\
\hline
0326266&033535 & Karoline Knoth\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\end{center}
\vspace{1.0cm}

\begin{table}[h!]
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \textbf{Kontrolle} & \checkmark \\
\hline Verhalten eines Filters 1. Ordnung & \\
\hline Verhalten eines RL-Filters & \\
\hline Dynamisches System 2. Ordnung & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\end{titlepage}
\setcounter{page}{2}

% start of actual lab protocol
% CHANGE ME!

\tableofcontents
\newpage


\section{Verhalten eines Filters 1. Ordnung}

\subsection{Aufgabenstellung}
Realisieren Sie am Experimentierboard die Schaltung aus \ref{fig:circ_tief} mit R = 22 \kilo\ohm\ und C = 10\micro\farad.


\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\begin{circuitikz}
	\draw	(0,2) to [R=R,o-o] (4,2); 
	\draw	(3,2) to [C=C,*-*] (3,0);
	\draw (4,0) to [short,o-o] (0,0);
\end{circuitikz}
\captionof{circuit}{RC - Tiefpaß}
\label{fig:circ_tief}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Alternativer Schaltplan}
Abbildung (\ref{fig:circ_tief_rl}) zeigt einen alternativen Schaltplan für die Realisierung eines Tiefpasses. Statt des Kondensators wurde eine Spule in in die Schaltung aufgenommen und Widerstand und Spule haben Plätze getauscht. Bei hohen Frequenzen wird der Widerstand der Spule L höher, wodurch am Widerstand $R$ eine geringere Spannung anliegt.
\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\begin{circuitikz}
	\draw	(0,2) to [L=$L$,o-o] (4,2); 
	\draw	(3,2) to [R,l_=$R$,v^>=$U$,*-*] (3,0);
	\draw (4,0) to [short,o-o] (0,0);
\end{circuitikz}
\captionof{circuit}{RL - Tiefpaß}
\label{fig:circ_tief_rl}
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Sprungantwort}

Die Sprungantwort in Diagramm \ref{fig:sprung_tief} sieht fast genau so wie in der Simulation aus. Die Zeitkonstante $\tau$ wurde nach (\ref{eqn:tau_tief}) ermittelt und ergab \SI{0.22}\milli\second.
\begin{equation}
 \tau=R\cdot C=22\cdot 10^{3}\ohm\ \cdot\ 10^{-8}\farad=0.22\milli\second
 \label{eqn:tau_tief}
\end{equation}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.28]{pics/print_00.png}
\captionof{diagram}{Sprungantwort Tiefpaß}
\label{fig:sprung_tief}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Grenzfrequenz}

Die Grenzfrequenz ergab sich nach Berechnung in (\ref{f_g}) mit einem Wert von \SI{723.8}\hertz
\begin{equation}
		  f_{g}=\frac{1}{2\pi\cdot R\cdot C}=723.8\hertz
		  \label{f_g}
\end{equation}

\subsection{Bode Diagramm}

Im Diagramm \ref{fig:bode_tief} ist zu sehen, dass das Verhalten des Filters dieselbe Tendenz zeigt wie in der Simulation. Phase und Amplitude ändern sich bis etwa \SI{100}\hertz \ nicht. Erst bei den darüberliegenden Frequenzen kommt es zur Phasenverschiebung und Abschwächung des Ausgangssignals. Auffällig ist, dass die Abschwächung in der Simulation stärker war.
\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Frequenz & 350\hertz & 450\hertz & 550\hertz & 650\hertz & 750\hertz & 850\hertz & 950\hertz & 1.05\kilo\hertz \\
\hline $U_{Ein}$ & 2.16 [\volt] & 2.16 [\volt] & 2.16 [\volt] & 2.16 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13[\volt]  & 2.13 [\volt] \\
\hline $U_{Aus}$ & 1.94 [\volt] & 1.80 [\volt] & 1.7 [\volt] & 1.6 [\volt] & 1.5 [\volt] & 1.42 [\volt] & 1.33 [\volt] & 1.26 [\volt] \\
\hline Phasenverschiebung & $23^\circ$ &  & $35^\circ$ &  &  &  & $49^\circ$ &  \\
\hline
\end{tabular}
\caption{RC-Filter, Messergebnis Teil 1}
\label{tab:tiefpass:result1}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline Frequenz& 2\kilo\hertz & 4\kilo\hertz & 6\kilo\hertz & 8 \kilo\hertz & 10\kilo\hertz & 20\kilo\hertz \\
\hline $U_{Ein}$ & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] & 2.13 [\volt] \\
\hline $U_{Aus}$ & 0.8 [\volt] & 0.47 [\volt] & 0.28 [\volt] & 0.22 [\volt] & 0.18 [\volt] & 0.10 [\volt] \\
\hline Phasenverschiebung & $66^\circ$ & $75^\circ$ & $80^\circ$ & &  & $85^\circ$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{RC-Filter, Messergebnis, Teil 2}
\label{tab:tiefpass:result2}
\end{table}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90,width=\textwidth]{plots/bode1.pdf}
\captionof{diagram}{Bode Diagramm Tiefpaß}
\label{fig:bode_tief}
\end{center}
\end{minipage}







\section{Verhalten eines RL-Filters}

\subsection{Aufgabenstellung}
Realisieren Sie am Experimentierboard die Schaltung \ref{fig:circ_rl} mit R = 120\ohm\  und L
= 100\micro\henry.

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\begin{circuitikz} 
	\draw (0,2) to [R=R,o-o] (4,2); 
	\draw (3,2)	to [L=L,*-*] (3,0);
	\draw (4,0) to [short,o-o] (0,0);
\end{circuitikz}
\captionof{circuit}{RL-Filter}
\label{fig:circ_rl}
\end{center}
\end{minipage}
\subsection{Sprungantwort}

Auch hier verhält sich die aufgenommene Sprungantwort genau wie die Simulierte (Abb. \ref{fig:sprung_rl} und \ref{fig:sprung_rln}). 
Die Zeitkonstante beträgt nach Berechnung laut (\ref{eqn:tau_rl}) \SI{0.83}\micro\second
\begin{equation}
 \tau=\frac{L}{R}=\frac{100*10^{-6} \henry}{120 \ohm}=0,83\micro\second
 \label{eqn:tau_rl}
\end{equation}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{pics/print_01}
\captionof{diagram}{Sprungantwort RL-Filter,skaliert}
\label{fig:sprung_rl}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{pics/print_02}
\captionof{diagram}{Sprungantwort RL-Filter, unskaliert}
\label{fig:sprung_rln}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Grenzfrequenz}

Die Grenzfrequenz $f_g$ haben wir in (\ref{rl_renz}) ermittelt. Sie beträgt \SI{191}\kilo\hertz.
\begin{equation}
		  f_g=\frac{R}{2\pi*L}=191\kilo\hertz
		  \label{rl_renz}
\end{equation}

\subsection{Bode Diagramm}
Für unsere Messungen welche in Tabellen \ref{tab:rlfilter:result1}, \ref{tab:rlfilter:result2} und \ref{tab:rlfilter:result3} aufgelistet sind, ergab sich das Bode-Diagramm in Abb. \ref{fig:bode_rl}. Auch hier ist das Ergebnis nahezu das Gleiche wie in der Simulation. Niedere Frequenzen bis \SI{1}\mega\hertz \ werden durch die Spule abgeschwächt und um \SI{90}\degree \ phasenverschoben.


\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Frequenz & 100\hertz & 1\kilo\hertz & 10\kilo\hertz & 100\kilo\hertz & 120\kilo\hertz & 140\kilo\hertz & 160\kilo\hertz & 180\kilo\hertz \\
\hline $U_{Ein}$ & 1.52 [\volt] & 1.52 [\volt] & 1.5 [\volt] & 1.56 [\volt] & 1.59 [\volt] & 1.63 [\volt] & 1.65 [\volt]  & 1.69 [\volt] \\
\hline $U_{Aus}$ & 25 [\milli\volt] & 80 [\milli\volt] & 145 [\milli\volt] & 750 [\milli\volt] & 860 [\milli\volt] & 980 [\milli\volt] & 1.08 [\volt] & 1.15 [\volt] \\
\hline Phasenverschiebung & & & $63^\circ$ & & & $50^\circ$ &  & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{RL-Filter, Messergebnis Teil 1}
\label{tab:rlfilter:result1}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Frequenz & 190\kilo\hertz & 200\kilo\hertz & 220\kilo\hertz & 240\kilo\hertz & 300\kilo\hertz & 400\kilo\hertz & 500\kilo\hertz & 600\kilo\hertz \\
\hline $U_{Ein}$ & 1.7 [\volt] & 1.71 [\volt] & 1.74 [\volt] & 1.76 [\volt] & 1.84 [\volt] & 1.94 [\volt] & 1.99 [\volt] & 2.0 [\volt] \\
\hline $U_{Aus}$ & 1.2 [\volt] & 1.24 [\volt] & 1.30 [\volt] & 1.38 [\volt] & 1.52 [\volt] & 1.68 [\volt] & 1.80 [\volt] & 1.86 [\volt] \\
\hline Phasenverschiebung & $46^\circ$ & & $43^\circ$ & & & $28^\circ$ &  & $20^\circ$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{RL-Filter, Messergebnis Teil 2}
\label{tab:rlfilter:result2}
\end{table}


\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline Frequenz & 700\kilo\hertz & 800\kilo\hertz & 900\kilo\hertz & 1\mega\hertz & 10\mega\hertz \\
\hline $U_{Ein}$ & 2.03 [\volt] & 2.06 [\volt] & 2.06 [\volt] & 2.06 [\volt] & 2.21 [\volt] \\
\hline $U_{Aus}$ & 1.90 [\volt] & 1.94 [\volt] & 1.99 [\volt] & 2.00 [\volt] & 2.17 [\volt] \\
\hline Phasenverschiebung & & $16^\circ$ & & & $5^\circ$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{RL-Filter, Messergebnis Teil 3}
\label{tab:rlfilter:result3}
\end{table}



\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90,width=\textwidth]{plots/bode2}
\captionof{diagram}{Bode Diagramm RL-Filter}
\label{fig:bode_rl}
\end{center}
\end{minipage}

\clearpage
\subsection{PN - Diagramm}
Das PN- Diagramm wurde anhand von (\ref{rl_pn}) ermittelt.  Die Nullstellen des Nenners (Polstellen) und die Nullstellen des Zählers (Nullstellen) wurden dafür berrechnet. Die Ergebnisse (\ref{zero}) und (\ref{pol}) sind in Diagramm \ref{fig:pn_rl} zu sehen. \\
Nachdem keine einzige Nullstelle im rechten Bereich des Diagramms zu finden ist, ist die Schaltung stabil.


\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{equation}
\frac{Ls}{Ls+R}
\label{rl_pn}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\nonumber L&=&0.0001;\\
\nonumber R&=&120;\\
\nonumber P&=&[L\ 0];\\
\nonumber Q&=&[L\ R\ 0];\\
\nonumber sys&=&tf(P,Q);\\
\nonumber zer\ pol\ k&=&sys2zp(sys)\\
zer&=&0 \label{zero}\\
pol&=&-1200000\label{pol}\\
\nonumber k&=&1
\end{eqnarray}
\end{minipage}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=\textwidth]{bode/pn}
\captionof{diagram}{PN- Diagramm des RL-Filters}
\label{fig:pn_rl}
\end{center}
\end{minipage}
\clearpage

\section{Dynamisches System 2. Ordnung}

\subsection{Aufgabenstellung}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\begin{circuitikz} 
	\draw	(0,2) to [L=L,o-] (2,2) 
					to [C=C,-o] (4,2) to [short,-o] (6,2);
	\draw	(4,2) to [R=R,*-*] (4,0);
	\draw	(6,0) to [short,o-o] (0,0);
\end{circuitikz}
\captionof{circuit}{System 2. Ordnung}
\label{fig:circ_dyn}
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Resonanzfrequenz}

Die Resonanzfrequenz wurde von uns nach (\ref{eqn:freq}) ermittelt und beträgt \SI{159.669}\kilo\hertz.

Abbildung \ref{fig:reso} zeigt die Resonanzfrequenz am Oszilloskop.
\begin{equation}
		  \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=159,669\kilo\hertz
		  \label{eqn:freq}
\end{equation}

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{pics/print_19.png}
\captionof{diagram}{Resonanzfrequenz}
\label{fig:reso}
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Bode Diagramme}
Auch hier entsprechen die Kenntnisse aus unseren Messungen in den Tabellen \ref{tab:dynsys:result1} und \ref{tab:dynsys:result2} denen aus der Simulation: Im Bodediagramm welches die Schaltung bei einem Widerstand von \SI{10}\ohm\ zeigt (Diagramm \ref{fig:bode_10ohm}),sieht man, dass Signale welche unter \SI{200}\kilo\hertz\ liegen bei zunehmender Frequenz weniger abgeschwächt werden bei einer Phasenverschiebung von \SI{90}\degree. Die Phasenverschiebung bei Frequenzen die darüber liegen beträgt \SI{-90}\degree\ bei einer stärkeren Abschwächung.

Das Halten der Phase von \SI{90}\degree\ und die schwächer werdene Amplitude deuten darauf hin, dass im unteren Frequenzbereich der Einfluss der Spule auf das Signal stärker ist, während im oberen Bereich der Kondensator größeren Einfluss auszuüben scheint.

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=\textwidth]{bode/bode3}
\captionof{diagram}{Bode Diagramm 10\ohm}
\label{fig:bode_10ohm}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

Im Diagramm \ref{fig:bode_220ohm} mit einem Widerstand von \SI{220}\ohm\ hingegen ist der Einfluss des Kondensators im unteren Frequenzbereich wesentlich höher, während seine Wirkung im oberen Frequenzbereich geringer ist.


\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=\textwidth]{bode/bode4}
\captionof{diagram}{Bode Diagramm 220\ohm}
\label{fig:bode_220ohm}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

Bei einem Widerstand von \SI{10}\kilo\ohm\ (Diagramm \ref{fig:bode_10kohm}) sieht man, dass der Bereich in dem sich Kondensator und Spule aufheben sehr viel größer ist.

\begin{minipage}[]{\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=\textwidth]{bode/bode5}
\captionof{diagram}{Bode Diagramm 10\kilo\ohm}
\label{fig:bode_10kohm}
\end{center}
\end{minipage}



\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline & Frequenz &		 	75\kilo\hertz & 		90\kilo\hertz & 	120\kilo\hertz & 	140\kilo\hertz & 	159.6\kilo\hertz & 160\kilo\hertz & 	180\kilo\hertz & 	200\kilo\hertz & 	240\kilo\hertz \\
\hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 10\ohm$} & 
$U_{Ein}$ & 					0.97 [\volt] & 		0.57 [\volt] & 	0.7 [\volt] & 		0.45 [\volt] & 	0.25 [\volt] & 	0.26 [\volt] & 	0.431 [\volt]  & 	0.619 [\volt] & 	0.84 [\volt] \\
 & $U_{Aus}$ & 				0.972 [\volt] & 		0.09 [\volt] & 	0.13 [\volt] & 	0.16[\volt] & 		0.17 [\volt] & 	0.169 [\volt] & 	0.159 [\volt] & 	0.141 [\volt] & 	0.109 [\volt]\\
 & Phasenverschiebung & 	$0^\circ$ & 			$0^\circ$ & 		$0^\circ$ & 		$0^\circ$ & 		$0^\circ$ & 		$0^\circ$ & 		$0^\circ$  & 		$0^\circ$ & 		$0^\circ$ \\ 
 
 \hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 220\ohm$} & 
$U_{Ein}$ & 					1.06 [\volt] & 		1.06 [\volt] & 	1.06 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt]  & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] \\
 & $U_{Aus}$ & 				1.06 [\volt] & 		1.06 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] &		1.05 [\volt] & 	1.05 [\volt] \\
 & Phasenverschiebung & 	$2^\circ$ & 			$2^\circ$ & 		$3^\circ$ & 		$2^\circ$ & 		$2^\circ$ & 		$2^\circ$ & 		$3^\circ$  & 		$2^\circ$ & 		$2^\circ$ \\

 \hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 1\kilo\ohm$} & 
$U_{Ein}$ & 					0.95 [\volt] & 		0.91 [\volt] & 	0.885 [\volt] & 	0.87 [\volt] & 	0.861 [\volt] & 	0.860 [\volt] & 	0.88 [\volt]  & 	0.88 [\volt] & 	0.89 [\volt] \\ 
 & $U_{Aus}$ & 				0.67 [\volt] & 		0.74 [\volt] & 	0.835 [\volt] & 	0.86 [\volt] & 	0.861 [\volt] & 	0.860 [\volt] & 	0.89 [\volt] & 	0.84 [\volt] & 	0.83 [\volt] \\
 & Phasenverschiebung & 	$-42^\circ$ & 			$-31^\circ$ & 		$-15^\circ$ & 		$-8^\circ$ & 		$-1^\circ$ & 		$0^\circ$ & 		$8^\circ$  & 		$14^\circ$ & 		$23^\circ$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Dynamisches System 2. Ordnung, Messergebnis Teil 1}
\label{tab:dynsys:result1}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\centering
\tiny
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline & Frequenz &			260\kilo\hertz & 		280\kilo\hertz & 	1\mega\hertz & 	2\mega\hertz & 	4\mega\hertz & 	6\mega\hertz & 	7\mega\hertz & 	9\mega\hertz & 	10\mega\hertz \\
\hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 10\ohm$} & 
	$U_{Ein}$ & 				0.89 [\volt] & 		0.94 [\volt] & 	$-$ & 				$-$ & 				$-$ & 				$-$ & 				$-$  & 				$-$ & 				$-$ \\
 & $U_{Aus}$ & 				0.97 [\volt] & 		0.91 [\volt] & 	0 [\volt] & 		0 [\volt] & 		0 [\volt] & 		0 [\volt] & 		0 [\volt] & 		0 [\volt] & 		0 [\volt]\\
 & Phasenverschiebung & 	$0^\circ$ & 			$0^\circ$ & 		$-$ & 				$-$ & 				$-$ & 				$-$ & 				$-$  & 				$-$ & 				$-$ \\ 
 
 \hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 220\ohm$} & 
 $U_{Ein}$ & 					1.05 [\volt] & 		1.05 [\volt] & 	1.02 [\volt] & 	1.04 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.08 [\volt] & 	1.08 [\volt]  & 	$-$ [\volt] & 		$-$ [\volt] \\
 & $U_{Aus}$ & 				1.05 [\volt] & 		1.05 [\volt] & 	0.337 [\volt] & 	0.177 [\volt] & 	0.08 [\volt] & 	0.04 [\volt] & 	0.024 [\volt] & 	$-$ [\volt] & 		$-$ [\volt] \\
 & Phasenverschiebung & 	$3^\circ$ & 			$2^\circ$ & 		$72^\circ$ & 		$85^\circ$ & 		$92^\circ$ & 		$-$ & 		$-$  & 		$-$ & 		$-$ \\ 
\hline \multirow {3}{*}{$R_1 = 1\kilo\ohm$} & 
$U_{Ein}$ & 					0.89 [\volt] & 		0.91 [\volt] & 	1.02 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.038 [\volt] & 	1.05 [\volt] & 	1.06 [\volt] & 	1.08 [\volt] & 	1.08 [\volt] \\
 & $U_{Aus}$ & 				0.81 [\volt] & 		0.78 [\volt] & 	0.33 [\volt] & 	0.172 [\volt] & 	0.075 [\volt] & 	0.034 [\volt] & 	$-$ & 				$-$ & 				$-$ \\
 & Phasenverschiebung & 	$25^\circ$ & 			$30^\circ$ & 		$72^\circ$ & 		$82^\circ$ & 		$89^\circ$ & 		$101^\circ$ & 		$-$  & 				$-$ & 				$-$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Dynamisches System 2. Ordnung, Messergebnis Teil 2}
\label{tab:dynsys:result2}
\end{table}


\end{document}
